कक्षा 10 गणित वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

Prime Factorization & LCM-HCF

प्रश्न 1:

प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
  1. 140
  2. 156
  3. 3825
  4. 5005
  5. 7429
(i) 140140 = 2 × 2 × 5 × 7 140 = 2² × 5 × 7
(ii) 156156 = 2 × 2 × 3 × 13 156 = 2² × 3 × 13
(iii) 38253825 = 3² × 5² × 17 3825 = 3² × 5² × 17
(iv) 50055005 = 5 × 7 × 11 × 13 5005 = 5 × 7 × 11 × 13
(v) 74297429 = 17 × 19 × 23 7429 = 17 × 19 × 23

प्रश्न 2:

निम्नलिखित युग्मों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) और महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि:
LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल
  1. 26 और 91
  2. 510 और 92
  3. 336 और 54
(i) संख्याएँ: 26 और 91 26 = 2 × 13,
91 = 7 × 13
HCF = 13
LCM = 2 × 7 × 13 = 182
LCM × HCF = 182 × 13 = 2366
26 × 91 = 2366 ✅
(ii) संख्याएँ: 510 और 92 510 = 2 × 3 × 5 × 17,
92 = 2² × 23
HCF = 2
LCM = 2² × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460
LCM × HCF = 23460 × 2 = 46920
510 × 92 = 46920 ✅
(iii) संख्याएँ: 336 और 54 336 = 2⁴ × 3 × 7,
54 = 2 × 3³
HCF = 6
LCM = 2⁴ × 3³ × 7 = 3024
LCM × HCF = 3024 × 6 = 18144
336 × 54 = 18144 ✅

प्रश्न 3:

अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्नलिखित संख्याओं का LCM और HCF ज्ञात कीजिए:
  1. 12, 15 और 21
  2. 17, 23 और 29
  3. 8, 9 और 25
(i) संख्याएँ: 12, 15, 21 12 = 2² × 3
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
HCF = 3
LCM = 2² × 3 × 5 × 7 = 420
(ii) संख्याएँ: 17, 23, 29 सभी अभाज्य हैं। कोई सामान्य गुणनखंड नहीं।
HCF = 1
LCM = 17 × 23 × 29 = 11339
(iii) संख्याएँ: 8, 9, 25 8 = 2³
9 = 3²
25 = 5²
HCF = 1
LCM = 8 × 9 × 25 = 1800

प्रश्न 4:

यदि HCF(306, 657) = 9 दिया गया है, तो LCM(306, 657) ज्ञात कीजिए।
प्रदत्त: HCF = 9
गुणनफल = 306 × 657 = 201042
LCM = 201042 ÷ 9 = 22338
अतः, LCM = 22338

प्रश्न 5:

जांचें कि क्या 6ⁿ किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 0 अंकों पर समाप्त हो सकता है?
जांच: क्या 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो सकता है?
ध्यान दें: किसी भी संख्या के अंत में 0 आने के लिए वह 10 से विभाज्य होनी चाहिए,
यानी वह 2 और 5 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
चरण 1: 6ⁿ का विश्लेषण
6 = 2 × 3
इसलिए 6ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ
इसमें 2 और 3 के गुणनखंड होते हैं।
चरण 2: क्या 6ⁿ में 5 का गुणनखंड है?
नहीं, 6 में 5 नहीं है।
इसलिए 6ⁿ किसी भी n के लिए 5 से विभाज्य नहीं होगा।
निष्कर्ष:
क्योंकि 6ⁿ 5 से विभाज्य नहीं है, वह 10 से भी विभाज्य नहीं हो सकता,
अतः 6ⁿ कभी भी 0 पर समाप्त नहीं होगा।

प्रश्न 6:

यह स्पष्ट कीजिए कि 7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 संख्याएँ संयोजित (composite) क्यों हैं।
(i) 7 × 11 × 13 + 13
7 × 11 × 13 = 1001
1001 + 13 = 1014
1014 एक सम संख्या है → 2 से विभाज्य है
अतः 1014 एक संयोजित संख्या है
(ii) 7! + 5
7! = 5040
5040 + 5 = 5045
5045 अंतिम अंक 5 → 5 से विभाज्य है
अतः 5045 एक संयोजित संख्या है
निष्कर्ष:
दोनों संख्याओं में 1 और स्वयं के अलावा अन्य भाजक हैं,
इसलिए वे संयोजित संख्याएँ हैं।

प्रश्न 7:

एक खेल मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार रास्ता है। सोनिया को मैदान का एक चक्कर लगाने में 18 मिनट लगते हैं और रवि को 12 मिनट। यदि वे दोनों एक ही समय पर एक ही बिंदु से एक ही दिशा में चलना शुरू करते हैं,

तो वे कितने समय बाद फिर से प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे?
प्रदत्त:
सोनिया का समय = 18 मिनट
रवि का समय = 12 मिनट
समाधान: जब दोनों प्रारंभ बिंदु पर फिर से मिलेंगे — यह 18 और 12 का LCM
गुणनखंड:
18 = 2 × 3²
12 = 2² × 3
LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36 मिनट
उत्तर: वे 36 मिनट बाद फिर से प्रारंभ बिंदु पर मिलेंगे।
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